AI算法课数学题3思路--线性可分则凸壳不交

本文最后更新于：2021年4月26日 凌晨

# AI算法课数学题3思路–线性可分则凸壳不交

证明：线性可分=>凸壳不交

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思路

这题其实就是统计学习方法里感知机的学习策略，数据集的线性可分性的定义那部分，好像和凸优化理论相关。

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题设“证明：如果它们的凸壳有相交的部分，那么这两个点集是线性不可分的；相反，如果它们是线性可分的，那么它们的凸壳就不会相交。”<=等价于=>“证明：样本集线性可分的充分必要条件是正实例点集和负实例点集所构成的凸壳互不相交。”只要把充分性必要性都证了就OK。

证完之后的小插曲：其实这里我看错题了，我不想把之前辛辛苦苦写的删了，证明也都在后面附上了，也可以看看。

假设p为“两个凸壳有相交的部分”，q为“两个点集是线性不可分的”

题设证明的意思换句话说就是：“若p则q，反之，若~p则~q”这前一句后一句其实互为逆否命题，只需要证一个就行，而我之前错看成两个，以为和李航统计学习方法里的课后题一样，导致我还去看了凸优化理论…智商捉鸡的我实在看不懂…

证明

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小插曲

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到这里，由于题设给的是两句话是逆否命题，“如果它们是线性可分的，那么它们的凸壳就不会相交”等价于“如果它们的凸壳有相交的部分，那么这两个点集是线性不可分的”，此时原命题已经得证了。

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由①和②可以证明题设“如果它们的凸壳有相交的部分，那么这两个点集是线性不可分的；相反，如果它们是线性可分的，那么它们的凸壳就不会相交。”

我这里给出的证明可能不是很严谨，详细证明参考大佬博客：凸壳与线性可分